Postupný poměr

Postupný poměr

Dosud jsme pomocí poměru porovnávali pouze dva údaje. Občas je ale také důležité porovnat i více údajů, např.: délky všech tří stran trojúhelníku. To můžeme učinit ppomocí zápisu, kterému se říká postupný poměr.

Co je to postupný poměr?

Porcelán se vyrábí z kaolinu, křemene a sádry. Tyto látky se mísí tak, že k 25 dílům kaolinu se přidávají 2 díly křemene a jeden díl sádry. Říkáme že kaolin, křemen a sádra jsou ve směsi pro výrobu porcelánu zastoupeny v poměru 25 : 2 : 1. Tomuto zápisu říkáme postupný poměr.

Postupný poměr kladných čísel a, b a c zpisujeme ve tvaru a : b :c.

Porovnáváme jím tři množství, z nichž první je složeno z a-dílů, druhé z b-dílů a třetí z c-dílů, přečemž všechny díly označují stejné množství.

Číslo a se nazývá první člen postupného poměru, číslo b jeho drůhý člen a číslo c jeho třetí člen.

Postupný poměr je zkrácený zápis tří poměrů mezi třemi hodnotami - a : b, b : c a a : c.

Postupný poměr může obsahovat i více členů než tři. Naříklad:
postupný poměr 4 : 2 : 3 : 8 porovnává čtyři množství,
postupný poměr 2 : 6 : 1 : 4 : 5 porovnává pět množství.

Jak upravujeme postupné poměry?

Zatím co poměr a : b má jedinou hodnotu (danou zlomkem a/b), každý postupný poměr a : b : c má tři hodnoty (dané zlomky a/b, b/c a a/d). Říkáme-li, že poměry a : b : c a a' : b' : c' jsou stejné, máme tím na mysli, že platí tři rovnosti - a / b = a' / b', b / c = b' / c' a a / c = a' / c'.

Platí-li dva z těchto rovností, platí i třetí.

Poměry a : b : c a a' : b' : c' jsou stejné, právě když exisuje kladné číslo k, pro které platí a': ka, b': kb a c': kc.
Každý člen poměru a': b': c' tedy vznikne z odpovídajícího členu poměru a : b : c vynásobením číslem k.

Poměr 20 : 30 : 50 vznikne tak, že každý člen poměru 2 : 3 : 5 vynásobíme číslem 10. Této úpravě se říká rozšiřování postupného poměru (V tomto případě k = 10).

Poměr 4 : 6 : 10 vznikne tak, že každý člen poměru 20 : 30 : 50 vydělíme číslem 5. Této úpravě se říká krácení postupného poměr (Nyní k = 1/5)

Řekneme že poměr a : b : c je v základním tvaru, jsou-li čísla a, b, c přirozená a nesoudělná.
Při rozšiřování a krácení poměru a : b dvou čísel jsme mohli přecházet k úpravám zlomku . Postupný poměr a : b : c jedním zlomkem vyjádřit nemůžeme!

Jak sestavujeme postupné poměry?

Nyní budeme řešit problém jak sestavit postupný poměr a : b : c, známe-li dva z poměrů a : b, b : c, a : c.

Příklad 2.:

Nerezavějící ocel se vyrábí ze železa, niklu a chromu. Železo a nikl jsou zastoupeny v poměru 9:1, nikl a chrom v poměru 2:5. Porovnejte obsah železa, niklu a chromu v takové oceli jediným postupným poměrem.

Řešení :

Ze zadání plynou tyto informace o poměru látek:

železo : nikl : chrom = 9 : 1 : □
železo : nikl : chrom = □ : 2 : 5

Oba neznámé postupné poměry musí být stejné. Podle druhých členů vidíme, že druhý postupný poměr vznikne z prvního rozšířením číslem 2:

18 : 2 : □ = □ : 2 : 5

Proto je hledaný poměr 18 : 2 : 5. Navíc z něj vyčteme, že poměr železo : chrom = 18 : 5.

Přiklad 2.:

Určete poměr a : b : c, je-li a:b = 3:4 a b:c = 6:5.

Řešení :

Oba dané poměry jsme rozšířili tak, aby se shodovaly ve členu b. Vybrali jsme nejmenší společný násobek čísle 4 a 6, tj. číslo 12.

Hledaný poměr je 9 : 12 : 10.